本文最后更新于：2024年9月16日 下午
2022新高考全国1卷
7.设\(a=0.1e^{0.1},b=\dfrac{1}{9},c=-\ln0.9\)，则
\(A.a<b<c\qquad\) \(B.c<b<a\qquad\) \(C.c<a<b\qquad\) \(D.a<c<b\)
从所给数据来看，可以将三个数处理为对\(0.1\)的运算：\(a=0.1e^{0.1},b=\dfrac{0.1}{1-0.1},c=\ln\dfrac{1}{1-0.1}\)
因此可以构造\(f(x)=xe^x\)，\(g(x)=\dfrac{x}{1-x}\)，\(h(x)=\ln\dfrac{1}{1-x}\)
由\(\ln x\le x-1\)得，\(\ln\dfrac{1}{1-x}\le\dfrac{1}{1-x}-1=\dfrac{x}{1-x}\)，于是\(b<c\)
由\(e^x\ge x+1\)得，\(e^{-x}\ge 1-x\)，即\(e^x\le\dfrac{1}{1-x}(x<1)\)，即\(xe^x\le\dfrac{x}{1-x}\)，于是\(a<b\)
对于\(a,c\)的比较，构造\(\varphi(x)=xe^x+\ln(1-x)\)，则\(\varphi'(x)=(x+1)e^x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x^2-1)e^x+1}{x-1}\)
记\(m(x)=(x^2-1)e^x+1\)，则\(m'(x)=(x^2+2x-1)e^x\)，\(x\in(0,0.1)\)时，\(m'(x)<0\)，于是\(m(x)\)在\((0,0.1)\)单减，则\(m(x)<m(0)=0\)，于是\(\varphi'(x)>0\)，即\(\varphi(x)\)在\((0,0.1)\)单增，则\(\varphi(x)>\varphi(0)=0\)，于是\(a>c\)
2022新课标2卷12题：
12.已知\(a=\dfrac{31}{32}\)，\(b=\cos\dfrac{1}{4}\)，\(c=4\sin\dfrac{1}{4}\)，则
\(A.c>b>a\qquad\) \(B.b>a>c\qquad\) \(C.a>b>c\qquad\) \(D.a>c>b\)
解析：
\(b-c=\cos\dfrac{1}{4}-4\sin\dfrac{1}{4}=4(\dfrac{1}{4}\cos\dfrac{1}{4}-\sin\dfrac{1}{4})\)，构造\(f(x)=x\cos x-\sin x\)，则\(f'(x)=-x\sin x\)，则\(f(x)\)在\((0,\dfrac{1}{4})\)单减，于是\(f(x)<f(0)=0\)，即\(b<c\)
又\(a=1-\dfrac{1}{2}\cdot(\dfrac{1}{4})^2\)，构造\(g(x)=1-\dfrac{1}{2}x^2-\cos x\)，则\(g'(x)=-x+\sin x\)，\(g''(x)=-1+\cos x\le0\)，于是在\((0,+\infty)\)上\(g'(x)\)单减，则\(g'(x)<g'(0)=0\)，于是\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)单减，则\(g(x)<g(0)=0\)，即\(a<b\)
2021新课标1卷12题
12.设\(a=2\ln1.01\)，\(b=\ln1.02\)，\(c=\sqrt{1.04}-1\)，则（ ）
\(A.a<b<c\qquad\) \(B.b<c<a\qquad\) \(C.b<a<c\qquad\) \(D.c<a<b\)
解：\(a=\ln1.0201>b\)，比较\(b\)和\(c\)，注意到\(1.04=1.02\times2-1\)，构造\(f(x)=\ln x-\sqrt{2x-1}+1\)
\(f'(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}-x}{x\sqrt{2x-1}}\le0\)，则\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)单减，于是\(f(1.02)<f(1)=0\)，即\(b<c\)
比较\(a\)和\(c\)，构造\(g(x)=2\ln x-\sqrt{4x-3}+1\)，\(g'(x)=\dfrac{2(\sqrt{4x-3}-x)}{x\sqrt{4x-3}}\)
令\(g'(x)>0\)得\(x\in(1,3)\)，于是\(g(x)\)在\((1,3)\)单增，则\(g(1.01)>g(1)=0\)，即\(a>c\)