因式分解背后的主元思想

题目：若\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+b\ln x+ax\)在\((1,2)\)内有两个极值点，则\(b(3a+b+9)\)的取值范围是___

解析： \(f'(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x}\)，则\(x^2+ax+b=0\)在\((1,2)\)有两个不相等的实数根，设为\(x_1,x_2\)，于是 \[ \begin{cases} x_1+x_2=-a\\ x_1x_2=b \end{cases} \] 则\(b(3a+b+9)=x_1x_2(-3x_1-3x_2+x_1x_2+9)\)

由于注意到\(x_1,x_2\)是可以在\((1,2)\)内任意互不影响的任意发生变化的，也就是说二者是相互独立的变量，因此对于上式就是一个独立双变量的范围问题，那么就可以采用主元法进行求解，不妨选定\(x_1\)为主元对上式进行整理： \[ \begin{aligned} &\quad x_1x_2(-3x_1-3x_2+x_1x_2+9)\\ &=(x_2^2-3x_2)x_1^2-(3x_2^2-9x_2)x_1\\ &=x_2(x_2-3)x_1^2-3x_2(x_2-3)x_1\\ &=x_2(x_2-3)(x_1^2-3x_1)\\ &=(x_2^2-3x_2)(x_1^2-3x_1) \end{aligned} \] 没想到整理出来了一个\(x_1,x_2\)不再缠绵的一个式子，那就只需要求出各自的范围就好了

由于\(x_1\in(1,2)\)，则\(x_1^2-3x_1\in[-\dfrac{9}{4},-2)\)，同理\(x_2^2-3x_2\in[-\dfrac{9}{4},-2)\)，但是由于\(x_1\ne x_2\)

则\((x_2^2-3x_2)(x_1^2-3x_1)\in(4,\dfrac{81}{16})\)