2021全国乙卷第12，20，21题解

2021全国乙卷

12.设\(a=2\ln1.01\)，\(b=\ln1.02\)，\(c=\sqrt{1.04}-1\)，则（ ）

\(A.a<b<c\qquad\) \(B.b<c<a\qquad\) \(C.b<a<c\qquad\) \(D.c<a<b\)

解：\(a=\ln1.0201>b\)，比较\(b\)和\(c\)，注意到\(1.04=1.02\times2-1\)，构造\(f(x)=\ln x-\sqrt{2x-1}+1\)

\(f'(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}-x}{x\sqrt{2x-1}}\le0\)，则\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)单减，于是\(f(1.02)<f(1)=0\)，即\(b<c\)

比较\(a\)和\(c\)，构造\(g(x)=2\ln x-\sqrt{4x-3}+1\)，\(g'(x)=\dfrac{2(\sqrt{4x-3}-x)}{x\sqrt{4x-3}}\)

令\(g'(x)>0\)得\(x\in(1,3)\)，于是\(g(x)\)在\((1,3)\)单增，则\(g(1.01)>g(1)=0\)，即\(a>c\)

20.设函数\(f(x)=\ln(a-x)\)，已知\(x=0\)是函数\(y=xf(x)\)的极值点.

（1）求\(a\)；

（2）设函数\(g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}\)，证明\(g(x)<1\)

解：（1）\(a=1\)

（2）\(g(x)\)的定义域是\((-\infty,0)\cup (0,1)\)，即证\(\dfrac{x+\ln(1-x)}{x\ln(1-x)}<1\)，注意到\(x\ln(1-x)<0\)

即证\(x+(1-x)\ln(1-x)>0\)，即证\(h(x)=\dfrac{x}{1-x}+\ln(1-x)>0\)

\(h'(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}\)，则\(h(x)\)在\((-\infty,0)\)单减，\((0,1)\)单增，而\(h(0)=0\)

则当\(x\in(-\infty,0)\cup(0,1)\)时，\(h(x)>0\)，得证

21.已知抛物线\(C:x^2=2py(p>0)\)的焦点为\(F\)，且\(F\)与圆\(M:x^2+(y+4)^2=1\)上点的距离的最小值为4

（1）求\(p\)；

（2）若点\(P\)在\(M\)上，\(PA,PB\)是\(C\)的两条切线，\(A,B\)是切点，求\(\triangle PAB\)面积的最大值.

解：（1）\(p=2\)

（2）设\(A(x_1,\dfrac{1}{4}x_1^2),B(x_2,\dfrac{1}{4}x_2^2)\)，过\(A\)的切线\(l_1:y=\dfrac{1}{2}x_1x-\dfrac{1}{4}x_1^2\)

同理过\(B\)的切线\(l_2:y=\dfrac{1}{2}x_2x-\dfrac{1}{4}x_2^2\)，联立求得\(P(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{1}{4}x_1x_2)\)

又过\(A\)B的直线方程为\(y=\dfrac{\frac{1}{4}x_2^2-\frac{1}{4}x_1^2}{x_2-x_1}(x-x_1)+\dfrac{1}{4}x_1^2\)，即\(y=\dfrac{1}{4}(x_1+x_2)x-\dfrac{1}{4}x_1x_2\)

则\(AB\)中点为\(M(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{x_1^2+x_2^2}{8})\)，连接\(PM\)，则

\(S_{\triangle PAB}=\dfrac{1}{2}|PM|\cdot|x_2-x_1|=\dfrac{(x_2-x_1)^3}{16}\)

记\(P(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{1}{4}x_1x_2)=(x_0,y_0)\)，则\((x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4x_0^2-16y_0\)

由于\(x_0^2+(y_0+4)^2=1\)，则\(4x_0^2-16y_0=-4y_0^2-48y_0-60\)

于是\(S_{\triangle PAB}=\dfrac{(x_2-x_1)^3}{16}=\dfrac{(-4y_0^2-48y_0-60)^\frac{3}{2}}{16},y_0\in[-5,-3]\)

则当\(y_0=-5\)时，\(S_{\triangle PAB}\)的最大值为\(20\sqrt5\)