2021新高考2卷部分试题解析

2021新高考全国2卷

11.已知直线\(l:ax+by-r^2=0\)与圆\(C:x^2+y^2=r^2\)，点\(A(a,b)\)，则下列说法正确的是（ ）

\(A.\)若点\(A\)在圆\(C\)上，则直线\(l\)与圆\(C\)相切

\(B.\)若点\(A\)在圆\(C\)内，则直线\(l\)与圆\(C\)相离

\(C.\)若点\(A\)在圆\(C\)外，则直线\(l\)与圆\(C\)相离

\(D.\)若点\(A\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)与圆\(C\)相切

解：\(ABD\)

12.设正整数\(n=a_0\cdot2^0+a_1\cdot2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k-1}+a_k\cdot2^k\)，其中\(a_i\in\{0,1\}\)，记\(\omega(n)=a_0+a_1+\cdots+a_k\)，则（ ）

\(A.\omega(2n)=\omega(n)\qquad\) \(B.\omega(2n+3)=\omega(n)+1\qquad\)

\(C.\omega(8n+5)=\omega(4n+3)\qquad\) \(D.\omega(2^n-1)=n\)

解：方法一：取二进制的特殊值，利用运算验证，略

方法二：\(n=a_0\cdot2^0+a_1\cdot2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k-1}+a_k\cdot2^k=(a_ka_{k-1}...a_{0})_2\)

对于\(A\)，\(2n=0\cdot2^0+a_0\cdot2+a_1\cdot2^2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^k+a_k\cdot2^{k+1}=(a_ka_{k-1}a_00)_2\)，则\(A\)正确

对于\(B\)，\(2n+3=1\cdot2^0+(a_0+1)\cdot2+a_1\cdot2^2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^k+a_k\cdot2^{k+1}\)，若\(a_0=0\)，则\(\omega(2n+3)=\omega(n)+2\)，\(B\)错

对于\(C\)，\(8n+5=1\cdot2^0+0\cdot2^1+1\cdot2^2+a_0\cdot2^3+a_1\cdot2^4+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k+2}+a_k\cdot2^{k+3}=(a_ka_{k-1}...a_0101)_2\)

\(4n+3=1\cdot2^0+1\cdot2^1+a_0\cdot2^2+a_1\cdot2^3+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k+1}+a_k\cdot2^{k+2}=(a_ka_{k-1}...a_011)_2\)，则\(C\)正确

对于\(D\)，\(2^n-1=2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{n-1}=(11...1)_2\)，则\(D\)正确

直接从二进制运算的角度理解：

从\(n=a_0\cdot2^0+a_1\cdot2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k-1}+a_k\cdot2^k=(a_ka_{k-1}...a_{0})_2\)

\(2n=0\cdot2^0+a_0\cdot2+a_1\cdot2^2+\cdots+a_{k-1}\cdot2^k+a_k\cdot2^{k+1}=(a_ka_{k-1}a_00)_2\)

\(4n=0\cdot2^0+0\cdot2^1+a_0\cdot2^2+a_1\cdot2^3+\cdots+a_{k-1}\cdot2^{k+1}+a_k\cdot2^{k+2}=(a_ka_{k-1}a_000)_2\)

可以看出对于二进制数，每次乘以2以后，就在后面加了个0，因此\(\omega(n)=\omega(2n)=\cdots=\omega(2^kn),k\in\mathbb{N}\)

对于\(C\)，\(8n+5=(...000)_2+(101)_2=(...101)_2\)，则\(\omega(8n+5)=\omega(8n)+2=\omega(n)+2\)

\(4n+3=(...00)_2+(11)_2=(...11)_2\)，则\(\omega(4n+3)=\omega(4n)+2=\omega(n)+2\)

对于\(D\)，\(2^n-1=(1后面n个0)_2-(1)_2=(n个1)_2\)，则\(\omega(2^n-1)=n\)

对于\(B\)，若\(n=2t\)，则\(2n+3=4t+3=(...00)_2+(11)_2=(...11)_2\)，

因此\(\omega(2n+3)=\omega(2n)+2=\omega(n)+2\)

若\(n=2t-1\)，则\(2n+3=4t+1=(...00)_2+(1)_2=(...01)_2\)，

因此\(\omega(2n+3)=\omega(4t)+1=\omega(t)+1\)，若\(\omega(t)+1=\omega(n)+1=\omega(2t-1)+1\)，则\(t=1\)时\(B\)才正确

15.已知向量\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0\)，\(|\overrightarrow{a}|=1,|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=2\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=\)_____

解：平方即可，\(-\dfrac{9}{2}\)

16.已知函数\(f(x)=|e^x-1|\)，\(x_1<0,x_2>0\)，函数\(f(x)\)的图像在点\(A(x_1,f(x_1))\)和点\(B(x_2,f(x_2))\)的两条切线互相垂直，且分别交\(y\)轴于\(M,N\)两点，则\(\dfrac{|AM|}{|BN|}\)的取值范围是______

解：利用垂直可以得\(x_1+x_2=0\)，常规计算或者利用几何关系得\(\dfrac{|AM|}{|BN|}=\sqrt{e^{x_1}}\in(0,1)\)

20.已知椭圆\(C\)的方程为\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，右焦点为\(F(\sqrt2,0)\)，且离心率为\(\dfrac{\sqrt6}{3}\)

（1）求椭圆\(C\)的方程；

（2）设\(M,N\)是椭圆\(C\)上的两点，直线\(MN\)与曲线\(x^2+y^2=b^2(x>0)\)相切，证明：\(M,N,F\)三点共线的充要条件是\(|MN|=\sqrt3\)

解：（1）\(C:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1\)

（2）设直线\(MN:y=kx+m\)与\(x^2+y^2=1(x>0)\)相切，则\(1+k^2=m^2\) ①

将直线与椭圆联立得\((1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0\)，由弦长公式得\(|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{2\sqrt3\cdot\sqrt{3k^2-m^2+1}}{1+3k^2}\) ②

充分性：若\(|MN|=\sqrt3\)，联立①②可得，\(\begin{cases}k=1\\ m=-\sqrt2 \end{cases}\)或\(\begin{cases}k=-1\\ m=\sqrt2 \end{cases}\)，显然\(MN\)过点\(F\)

必要性：若\(MN\)过\(F\)，则\(m=-\sqrt2k\)，代入①可得\(k=\pm1\)，再代入②可求得\(|MN|=\sqrt3\)

则\(M,N,F\)三点共线的充要条件是\(|MN|=\sqrt3\)

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代.......，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设\(X\)表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，\(P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3)\)

（1）已知\(p_0=0.4,p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1\)，求\(E(X)\)

（2）设\(p\)表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，\(p\)是关于\(x\)的方程：\(p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x\)的一个最小正实根，求证：当\(E(X)\le1\)时，\(p=1\)，当\(E(X)>1\)时，\(p<1\)

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义

解：（1）\(E(x)=0\times0.4+1\times0.3+2\times0.2+3\times0.1=1\)

（2）令\(f(x)=p_3x^3+p_2x^2+(p_1-1)x+p_0\)，注意\(f(1)=p_3+p_2+p_1+p_0-1=0\)

\(f'(x)=3p_3x^2+2p_2x+p_1-1\)，\(f'(1)=3p_3+2p_2+p_1-1=E(x)-1\)

当\(E(X)\le1\)时，即\(f'(1)\le0\)，又\(f'(0)=p_1-1\le0\)，则由二次函数的性质可知当\(x\in(0,1)\)时，\(f'(x)<0\)，即\(f(x)\)在\((0,1)\)单减，又\(f(1)=0\)，则\(f(x)\)在\((0,1)\)无零点，即\(p=1\)是\(f(x)\)的最小零点

当\(E(X)>1\)时，即\(f'(1)>0\)，又\(f'(0)\le0\)，结合二次函数的性质知\(\exists x_0\in(0,1)\)使得\(f'(x_0)=0\)，故\(f(x)\)在\((0,x_0)\)单减，\((x_0,1)\)单增，则\(f(0)=p_0>0,f(x_0)<f(1)=0\)，于是\(f(x)\)在\((0,1)\)内存在零点\(p\)，即\(p<1\)

（3）当微生物下代繁殖的期望小于等于1时，该种微生物经过多代繁殖后，必定会临近灭绝

当微生物下代繁殖的期望大于1时，该种微生物经过多代繁殖后，有可能会临近灭绝

22.已知函数\(f(x)=(x-1)e^x-ax^2+b\)

（1）讨论\(f(x)\)的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：\(f(x)\)有一个零点

①\(\dfrac{1}{2}<a\le\dfrac{e^2}{2},b>2a\)； ②\(0<a<\dfrac{1}{2},b\le2a\)

解：（1）\(f'(x)=xe^x-2ax=x(e^x-2a)\)

若\(a\le0\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)单减，\((0,+\infty)\)单增

若\(0<a<\dfrac{1}{2}\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,\ln2a)\)单增，\((\ln2a,0)\)单减，\((0,+\infty)\)单增

若\(a=\dfrac{1}{2}\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)单增

若\(a>\dfrac{1}{2}\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)单增，\((0,\ln2a)\)单减，\((\ln2a,+\infty)\)单增

（2）若选①，由（1）知\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)单增，\((0,\ln2a)\)单减，\((\ln2a,+\infty)\)单增

\(f(-\sqrt{\dfrac{b}{a}})<0\)，\(f(0)=b-1>2a-1>0\)，

\(f(\ln2a)=2a(\ln2a-1)-a\ln^22a+b>2a(\ln2a-1)-a\ln^22a+2a=a\ln2a(2-\ln2a)\ge0\)

故\(f(\ln2a)>0\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)内有唯一零点

若选②，则\(f(x)\)在\((-\infty,\ln2a)\)单增，\((\ln2a,0)\)单减，\((0,+\infty)\)单增

\(f(\ln2a)=2a(\ln2a-1)-a\ln^22a+b\le 2a(\ln2a-1)-a\ln^22a+2a=a\ln2a(2-\ln2a)<0\)

易证\(x>1\)时，\(e^x>x+1\)，则当\(x>1\)时，有

\(f(x)=(x-1)e^x-ax^2+b>(x-1)(x+1)-ax^2+b=(1-a)x^2+b-1\ge(1-a)x^2-|b|-1\)

则\(f(\sqrt{\dfrac{|b|+1}{1-a}})>0\)，于是\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)存在唯一零点