2021新高考1卷部分试题解析

2021新高考全国1卷

8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）

$A.$甲与丙相互独立 $B.$甲与丁相互独立 $C.$乙与丙相互独立 $D.$丙与丁相互独立

解：甲与丙是互斥事件，故不相互独立；$P$(丁|甲)=$P$(丁)=${\displaystyle \frac{1}{6}}$，故甲与丁相互独立

$P$(丙)=${\displaystyle \frac{5}{36}}$，$P$(丙|乙)=${\displaystyle \frac{1}{6}}$，故乙与丙不相互独立；丙与丁是互斥事件，故丙与丁不相互独立

12.在正三棱柱$ABC-A_1{B}_1{C}_1$中，$AB=A{A}_1=1$，点$P$满足$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_1}$，其中$\lambda \in [0,1],\mu \in [0,1]$，则（ ）

$A.$当$\lambda =1$时，$\mathrm{△}A{B}_{1}P$的周长为定值

$B.$当$\mu =1$时，三棱锥$P-A_{1}BC$的体积为定值

$C.$当$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$时，有且仅有一个点$P$，使得$A_{1}P\mathrm{\perp }BP$

$D.$当$\mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}$时，有且仅有一个点$P$，使得$A_1B$\mathrm{平}\mathrm{面}$AB_1P$

解：对于$A$，点$P$在线段$C{C}_1$上，当$P$位于$C{C}_1$的中点时，$AP+B_{1}P$最短，故$\mathrm{△}A{B}_{1}P$的周长不是定值，$A$错

对于$B$，点$P$在线段$B_1{C}_1$上，由于$B_1{C}_1//$平面$A_{1}BC$，则$B_1{C}_1$上任意一点到平面的距离都相等，故$B$对

对于$C$，点$P$在线段$P_1{P}_2$上，当$P$在$P_1$或$P_2$上时，都有$A_{1}P\mathrm{\perp }BP$，$C$错，多选题故$D$正确

对于$$$$，需满足$$$$，由于$$$$为$$$$的中点，即需有$$$$，则$$$$在线段$$$$的中垂面上，而中垂面与$$$$所在的线段交点唯一，即$$$$的中点

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm $$$$ 12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm $$$$ 12dm，20dm $$$$ 6dm两种规格的图形，它们的面积之和为 $$$$，对折2次共可以得到5dm $$$$ 12dm，10dm $$$$ 6dm，20dm $$$$ 3dm三种规格的图形，它们的面积之和$$$$，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_________； 如果对折$$$$次，那么$$$$ ____________$$$$

解：考察数列错位相减法求和略，5，$$$$

19.记$$$$的内角$$$$的对边分别为$$$$.已知$$$$，点$$$$在边$$$$上，$$$$.

（1）证明：$$$$；

（2）若$$$$，求$$$$.

解：（2）由$$$$，即$$$$，

化简得$$$$，即$$$$或$$$$

若$$$$，则$$$$，此时$$$$，不能构成三角i形，舍

故$$$$，此时$$$$

21.在平面直角坐标系$$$$中，已知点$$$$，点$$$$满足$$$$.记$$$$的轨迹为$$$$.

（1）求$$$$的方程

（2）设点$$$$在直线$$$$上，过$$$$的两条直线分别交$$$$于$$$$两点和$$$$两点，且$$$$，求直线$$$$的斜率与直线$$$$的斜率之和.

解：（1）$$$$

（2）方法一：设$$$$，$$$$，$$$$，将$$$$与$$$$联立得

$$$$，设方程的两根为$$$$

则$$$$，令$$$$得

$$$$

于是$$$$，同理$$$$

故$$$$，即$$$$，

故$$$$，由于$$$$，则$$$$，即$$$$

方法二：设$$$$，直线$$$$的参数方程为$$$$为参数，与$$$$联立得

$$$$

于是$$$$

设直线$$$$的参数方程为$$$$为参数

同理$$$$

于是$$$$，由于$$$$，则$$$$，即$$$$与$$$$的斜率之和为0

老教材《坐标系与参数方程》选修教材的例题（原例题是椭圆），出现在新高考挺尬的

22.已知函数$$$$

（1）讨论$$$$的单调性；

（2）设$$$$为两个不相等的正数，且$$$$，证明：$$$$

解：（1）$$$$，则$$$$在$$$$单增，$$$$单减

（2）$$$$即$$$$，令$$$$

即$$$$，$$$$，证明：$$$$

左侧证明为标准的极值点偏移问题，略，下证明右边

方法一：仿照极值点偏移的求解，统一变量构造函数

易知$$$$，只需证$$$$，只需证$$$$，即证$$$$

令$$$$

则$$$$，记$$$$为$$$$的小于1的根，则$$$$在$$$$单增，$$$$单减

又$$$$时，$$$$，结合$$$$知，$$$$成立

如果想避免上述极限的写法，考虑对$$$$的解析式进行变形，令$$$$

$$$$，令$$$$，注意$$$$

$$$$，当$$$$时，$$$$，则$$$$，即$$$$，故$$$$在$$$$单减，则$$$$

方法二：比值换元，统一变量

令$$$$，即有$$$$，解得$$$$

$$$$，即证$$$$，即证$$$$，即证$$$$，即证$$$$，

令$$$$，则$$$$，于是$$$$在$$$$单减，则$$$$，得证

方法三：切线放缩

$$$$在$$$$处的切线方程为$$$$，

令$$$$，$$$$，于是$$$$在$$$$单增，$$$$单减，即$$$$

设$$$$，由于$$$$，则$$$$

于是$$$$成立

方法四：割线放缩

$$$$经过$$$$和$$$$两点的割线方程为$$$$

显然当$$$$时，$$$$

设$$$$，由于$$$$，则$$$$

于是$$$$

令$$$$，则$$$$，于是$$$$在$$$$单增

则$$$$，即$$$$，得证

将法二和法三综合起来，切割线一起放缩：$$$$

事实上相当于用对称轴为$$$$的函数$$$$拟合了$$$$，体现化曲为直的思想

娱乐一下：当然也可以考虑用对称轴为$$$$的二次函数拟合，利用待定系数得$$$$

方法五：野猪wj

$$$$即$$$$，即$$$$，即$$$$

令$$$$，$$$$，即$$$$，证明：$$$$

这样同构的式子变化，使得函数解析式变得更加漂亮，下面证明类似略