端点函数值为零求导不要停

本文最后更新于:2025年4月24日 下午

庆祝剑群周题100期导数100-1已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)2x

(1)若a=0,证明:当1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0

(2)若x=0f(x)的极大值点,求a的值

(1)证明:f(x)=(2+x)ln(1+x)2x,令g(x)=ln(1+x)2x2+x

g(x)=x2(x+1)(x+2)0,于是g(x)(1,+)单增,又g(0)=0

则当1<x<0时,f(x)=(2+x)g(x)<0;当x>0时,f(x)=(2+x)g(x)>0

(2)f(x)=(2ax+1)ln(x+1)+ax2xx+1,f(0)=0

f(x)=2aln(x+1)+3ax2+(4a+1)x(x+1)2,f(0)=0

f(x)=2ax2+(6a1)x+6a+1(x+1)3,f(0)=6a+1

情形一:a0

x0f(x)0,则f(x)[0,+)单增,于是f(x)0,则f(x)[0,+)单增,则x=0不是极大值点

情形二:a<0

h(x)=2ax2+(6a1)x+6a+1,对称轴x=32+14a<1,分以下四种i情况讨论:

①若h(0)=6a+1=0,即a=16时,x(1,0)时,h(x)>0,即f(x)>0,则f(x)单增,f(x)<0,于是 f(x)单减,f(x)>0,则f(x)(1,0)单增;x(0,+)时,h(x)<0,即f(x)<0,同理可得f(x)(0,1)单减,于是x=0f(x)的极大值点

②若h(0)=6a+1>0,即16<a<0时,x0(0,+)使得h(x0)=0,则x(0,x0)时,h(x)>0,即f(x)>0,于是f(x)单增,则f(x)>0,于是f(x)单增,则f(x)>0,则f(x)(0,x0)单增,则x=0不是极大值点

③若h(0)=6a+1<0h(1)=2a+2>0,即1<a<16时,x1(1,0)使得h(x1)=0,则x(x1,0)时,h(x)<0,即f(x)<0,与②同理可得f(x)(x1,0)单减,则x=0不是极大值点

④若h(1)=2a+20,即a1时,x(1,0)时,h(x)<0,即f(x)<0,同③可得f(x)(1,0)单减,则x=0不是极大值点

综上,

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庆祝剑群周题100期导数100-2已知函数

(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:

(1)解:

时,,则单增;

时,单增,单减

(2)由(1)知

等价于,易证,略

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庆祝剑群周题100期导数100-3记分别是函数的导函数.若存在,满足,则称为函数的一个“点”

(1)证明:函数不存在“点”;

(2)若函数存在“点”,求实数的值;

(3)已知函数,对任意,判断是否存在,使函数在区间内存在“点”,并说明理由

(1)证明:方程组无解,即不存在“点”

(2)解:,解得

(3)解:考虑若有解,由②知,消去化简得

对任意,于是一定存在零点

即对任意,存在满足条件

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端点函数值为零求导不要停
https://andyppang.github.io/2021/05/24/端点函数值为零,求导不要停-1/
作者
PL
发布于
2021年5月24日
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