端点函数值为零求导不要停

庆祝剑群周题100期导数100-1已知函数\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\)

（1）若\(a=0\)，证明：当\(-1<x<0\)时，\(f(x)<0\)；当\(x>0\)时，\(f(x)>0\)

（2）若\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点，求\(a\)的值

（1）证明：\(f(x)=(2+x)\ln(1+x)-2x\)，令\(g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{2+x}\)

则\(g'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)(x+2)}\ge0\)，于是\(g(x)\)在\((-1,+\infty)\)单增，又\(g(0)=0\)，

则当\(-1<x<0\)时，\(f(x)=(2+x)g(x)<0\)；当\(x>0\)时，\(f(x)=(2+x)g(x)>0\)

（2）\(f'(x)=(2ax+1)\ln(x+1)+\dfrac{ax^2-x}{x+1},f'(0)=0\)

\(f''(x)=2a\ln(x+1)+\dfrac{3ax^2+(4a+1)x}{(x+1)^2},f''(0)=0\)

\(f'''(x)=\dfrac{2ax^2+(6a-1)x+6a+1}{(x+1)^3},f'''(0)=6a+1\)

情形一：\(a\ge0\)时

\(\forall x\ge0\)，\(f''(x)\ge0\)，则\(f'(x)\)在\([0,+\infty)\)单增，于是\(f'(x)\ge0\)，则\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)单增，则\(x=0\)不是极大值点

情形二：\(a<0\)时

记\(h(x)=2ax^2+(6a-1)x+6a+1\)，对称轴\(x=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4a}<-1\)，分以下四种i情况讨论：

①若\(h(0)=6a+1=0\)，即\(a=-\dfrac{1}{6}\)时，\(x\in(-1,0)\)时，\(h(x)>0\)，即\(f'''(x)>0\)，则\(f''(x)\)单增，\(f''(x)<0\)，于是 \(f'(x)\)单减，\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((-1,0)\)单增；\(x\in(0,+\infty)\)时，\(h(x)<0\)，即\(f'''(x)<0\)，同理可得\(f(x)\)在\((0,1)\)单减，于是\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点

②若\(h(0)=6a+1>0\)，即\(-\dfrac{1}{6}<a<0\)时，\(\exists x_0\in(0,+\infty)\)使得\(h(x_0)=0\)，则\(x\in(0,x_0)\)时，\(h(x)>0\)，即\(f'''(x)>0\)，于是\(f''(x)\)单增，则\(f''(x)>0\)，于是\(f'(x)\)单增，则\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((0,x_0)\)单增，则\(x=0\)不是极大值点

③若\(h(0)=6a+1<0\)且\(h(-1)=2a+2>0\)，即\(-1<a<-\dfrac{1}{6}\)时，\(\exists x_1\in(-1,0)\)使得\(h(x_1)=0\)，则\(x\in(x_1,0)\)时，\(h(x)<0\)，即\(f'''(x)<0\)，与②同理可得\(f(x)\)在\((x_1,0)\)单减，则\(x=0\)不是极大值点

④若\(h(-1)=2a+2\le0\)，即\(a\le-1\)时，\(x\in(-1,0)\)时，\(h(x)<0\)，即\(f'''(x)<0\)，同③可得\(f(x)\)在\((-1,0)\)单减，则\(x=0\)不是极大值点

综上，\(a=-\dfrac{1}{6}\)

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庆祝剑群周题100期导数100-2已知函数\(f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x\)

（1）讨论\(f(x)\)的单调性；（2）当\(a<0\)时，证明：\(f(x)\le-\dfrac{3}{4a}-2\)

（1）解：\(f'(x)=\dfrac{2ax^2+(2a+1)x+1}{x},x>0\)

当\(a\ge0\)时，\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)单增；

当\(a<0\)时，\(f(x)\)在\((0,-\dfrac{1}{2a})\)单增，\((-\dfrac{1}{2a},+\infty)\)单减

（2）由（1）知\(f(x)_{\max}=f(-\dfrac{1}{2a})=\ln(-\dfrac{1}{2a})-\dfrac{1}{4a}-1\)

则\(\ln(-\dfrac{1}{2a})-\dfrac{1}{4a}-1\le-\dfrac{3}{4a}-2\)等价于\(\ln(-\dfrac{1}{2a})\le-\dfrac{1}{2a}-1\)，易证\(\ln x\le x-1\)，略

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庆祝剑群周题100期导数100-3记\(f'(x),g'(x)\)分别是函数\(f(x),g(x)\)的导函数.若存在\(x_0\in\mathbb{R}\)，满足\(f(x_0)=g(x_0)\)且\(f'(x_0)=g'(x_0)\)，则称\(x_0\)为函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的一个“\(S\)点”

（1）证明：函数\(f(x)=x\)与\(g(x)=x^2+2x-2\)不存在“\(S\)点”；

（2）若函数\(f(x)=ax^2-1\)与\(g(x)=\ln x\)存在“\(S\)点”，求实数\(a\)的值；

（3）已知函数\(f(x)=-x^2+a\)，\(g(x)=\dfrac{be^x}{x}\)，对任意\(a>0\)，判断是否存在\(b>0\)，使函数\(f(x)\)与\(g(x)\)在区间\((0,+\infty)\)内存在“\(S\)点”，并说明理由

（1）证明：\(\begin{cases}x^2+2x-2=x\\2x+2=1 \end{cases}\)方程组无解，即不存在“\(S\)点”

（2）解：\(\begin{cases}ax^2-1=\ln x\\2ax=\dfrac{1}{x} \end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=\dfrac{e}{2}\\x=\dfrac{\sqrt{e}}{e} \end{cases}\)

（3）解：考虑\(\begin{cases}-x^2+a=\dfrac{be^x}{x} \quad①\\-2x=\dfrac{be^x(x-1)}{x^2}\quad② \end{cases}\)若有解，由②知\(x\in(0,1)\)，消去\(b\)化简得\(h(x)=x^3-3x^2-ax+a=0\)，

对任意\(a>0\)，\(h(0)=a>0,h(1)=-2<0\)，于是\(h(x)\)在\((0,1)\)一定存在零点\(x_0\)

即对任意\(a>0\)，存在\(b=\dfrac{2x_0^3}{e^{x_0}(1-x_0)}\)满足条件

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