放缩处理端点函数值取极限的情况

放缩处理端点函数值取极限的情况

证明：\(x\ln x<e^x-x^2-1\)

证：即证\(f(x)=\dfrac{x\lnx+x^2+1}{e^x}<1\)

\(f'(x)=(\ln x+1+2x-x\lnx-x^2-1)e^{-x}=[(1-x)\ln x-(1-x)^2]e^{-x}=(1-x)(\lnx+x-1)e^{-x}\)

则\(x\in(0,1)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单减；\(x\in[1,+\infty)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单减

则\(x\in[1,+\infty)\)时，\(f(x)\le f(1)=\dfrac{2}{e}<1\)

\(x\in(0,1)\)时，由于\(x\ln x<0\)，则\(f(x)<\dfrac{x^2+1}{e^x}=g(x)\)，\(g'(x)=-(x-1)^2e^{-x}<0\)，于是\(g(x)\)在\((0,1)\)单减，\(g(x)<g(0)=1\)，则\(f(x)<1\)

综上\(f(x)<1\)成立

评：

1. 野猪说：“对数单身狗，指数找基友”

2. \(f(x)\)在\((0,+\infty)\)单减，尴尬的是中学阶段不能用极限说明\(f(x)\)在\(x=0\)的极限值为0

3. 由于\(f(x)\)的上确界是在\(x=0\)取到的，而\(x\ln x\)的极限值也为0，并且刚好\(x\in(0,1)\)时\(x\ln x<0\)，那么将\(f(x)\)去掉\(x\lnx\)放大成\(g(x)\)后，\(g(x)\)上界是不变的，只需要保证\(g(x)\)单调递减就可以了。