椭圆上两点连线过定点问题的简化计算

椭圆上两点连线过定点问题的计算优化

题

已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)\)的左焦点为\(F\)，直线\(y=kx(k>0)\)与\(C\)交于\(A,B\)两点，且\(\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB}=0\)时，\(k=\dfrac{\sqrt3}{3}\)

（1）求\(a\)的值；

（2）若线段\(AF,BF\)的延长线分别交\(C\)于\(D,E\)两点，当\(k\)变化时，直线\(DE\)是否过定点？若是，求出该定点坐标

解：（1）由\(\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB}=0\)，即\((\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OB})=0\)，化简得\(\overrightarrow{FO}^2=\overrightarrow{OA}^2\)，则\(|\overrightarrow{FO}|=|\overrightarrow{OA}|=c\)，于是\(A(\dfrac{\sqrt3}{2}c,\dfrac{1}{2}c)\)代入椭圆方程得

\(\begin{cases}\dfrac{\dfrac{3}{4}c^2}{a^2}+\dfrac{1}{4}c^2=1\\ c^2=a^2-1 \end{cases}\)，解得\(a=\sqrt3\)

（2）设点\(A\)的坐标为\((x_0,y_0)\)，则直线\(AF\)的方程为\(x=\dfrac{y}{y_0}(x_0+\sqrt2)-\sqrt2\)，与椭圆联立得

\([(\dfrac{x_0+\sqrt2}{y_0})^2+3]y^2+\)酱油一次项\(-1=0\)，将\(x_0^2+3y_0^2=3\)代入化简得\(\dfrac{2\sqrt2x_0+5}{y_0^2}y^2+\)酱油一次项\(-1=0\)，于是

\(y_0y_{D}=\dfrac{-y_0^2}{2\sqrt2x_0+5}\)，则\(y_D=\dfrac{-y_0}{2\sqrt2x_0+5}\)，代入直线方程解得\(D(\dfrac{-5x_0-6\sqrt2}{2\sqrt2x_0+5},\dfrac{-y_0}{2\sqrt2x_0+5})\)，同理\(E(\dfrac{5x_0-6\sqrt2}{-2\sqrt2x_0+5},\dfrac{y_0}{-2\sqrt2x_0+5})\)

由对称性知直线\(DE\)过的定点在\(x\)轴上，设为\((t,0)\)，于是

\(\dfrac{\dfrac{-y_0}{2\sqrt2x_0+5}-0}{\dfrac{-5x_0-6\sqrt2}{2\sqrt2x_0+5}-t}=\dfrac{\dfrac{y_0}{-2\sqrt2x_0+5}-0}{\dfrac{5x_0-6\sqrt2}{-2\sqrt2x_0+5}-t}\)，看似繁杂但很容易化简得\(t=-\dfrac{6\sqrt2}{5}\)，于是直线\(DE\)过定点\((-\dfrac{6\sqrt2}{5},0)\)

评：

1. 如果设直线\(AF\)的方程为\(y=\dfrac{y_0}{x_0+\sqrt2}(x+\sqrt2)\)的形式与椭圆联立时，所得到的关于\(x\)的一元二次方程常数项并不是常数，计算量相应变大

2. 求出\(D,E\)两点的坐标以后，不要写直线\(DE\)的方程，通过对称性确定定点所在的位置，然后利用三点共线求解