极值点偏移的思路消参的操作

题

已知函数\(f(x)=axe^{2-x}-2(x-1)^2,a\in\mathbf{R}\)

（1）讨论\(f(x)\)的单调性；

（2）当\(0<a<1\)时，证明：\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1x_2<1\)

解

解析：（1）\(f'(x)=ae^{2-x}(1-x)-4(x-1)=(1-x)(ae^{2-x}+4)\)

当\(a\ge0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)单增，在\((1,+\infty)\)单减

当\(a<0\)时，令\(f'(x)=0\)得\(x_1=1\)或\(x_2=2-\ln(-\dfrac{4}{a})\)

若\(a=-\dfrac{4}{e}\)，则\(x_1=x_2\)，\(f'(x)\le0\)，于是\(f(x)\)在\(\mathbf{R}\)上单减

若\(a<-\dfrac{4}{e}\)，则\(x_1<x_2\)，于是\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)单减，\((1,x_2)\)单增，\((x_2,+\infty)\)单减

若\(-\dfrac{4}{e}<a<0\)，则\(x_2<x_1\)，于是\(f(x)\)在\((-\infty,x_2)\)单减，\((x_2,1)\)单增，\((1,+\infty)\)单减

（2）\(0<a<1\)时，由（1）知\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)单增，在\((1,+\infty)\)单减，\(f(0)=-2<0\)，\(f(1)=ae>0\)，\(f(2)=2a-2<0\)

于是\(f(x)\)在\((0,1)\)和\((1,2)\)内各有一个零点\(x_1,x_2\)，由\(f(x_1)=0\)得\(ax_1e^{2-x_1}=2(x_1-1)^2\)，即\(a=\dfrac{2(x_1-1)^2}{x_1e^{2-x_1}}\)

欲证\(x_1x_2<1\)，即证\(x_2<\dfrac{1}{x_1}\)，由于\(x_2,\dfrac{1}{x_1}\in(1,+\infty)\)，只需证\(0=f(x_2)>f(\dfrac{1}{x_1})\)，即证

\(f(\dfrac{1}{x_1})=a\cdot\dfrac{1}{x_1}\cdot e^{2-\dfrac{1}{x_1}}-2(\dfrac{1}{x_1}-1)^2<0\)，将\(a\)代入化简后即证\(e^{x_1-\dfrac{1}{x_1}}<1\)

由于\(0<x_1<1\)，则上式显然成立，得证

评

1. 第（1）问解不等式\((1-x)(ae^{2-x}+4)>0\)时，由于\(y=ae^{2-x}+4(a<0)\)是个增函数，所以相当于解\((1-x)[x-(2-\ln(-\dfrac{4}{a}))]>0\)，可能有些同学绕不清楚
2. 第（2）问在1的右侧找点小于0时，注意观察找到\(f(2)\)，刚好可以利用题目条件\(a\)的范围
3. 如果采用传统的极值点偏移构造函数的思路，将会得到非常复杂的函数解析式，如果不消参处理，基本完蛋，切忌不写出解析式直接求导的操作，比如直接拿着\(f(x)-f(\dfrac{1}{x})\)利用复合函数求导去了。