月考错题集

高一上学期第一次月考

21.用清水洗一堆衣服上残留的污渍，用水越多，洗掉的污渍量也越多，但总还有污渍残留在衣服上.现作如下规定：用\(x\)单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数\(f(x)=\dfrac{2}{2+x^2}\) （1）（i）试解释\(f(0)\)与\(f(1)\)的实际意义； （ii）写出函数\(f(x)\)应该满足的条件或具有的性质；（写出至少2条，不需要证明） （2）现有\(a(a>0)\)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由.

22.已知\(f(x)=x\cdot |x|\) （1）若\(\exists x\in[1,+\infty)\)，使\(f(x-2a)-a<0\)成立，求实数\(a\)的取值范围. （2）若\(g(x)=x|x|+|mx-1|(m>0)\)，在\(x\in (-1,+\infty)\)上有最小值，求实数\(m\)的取值范围.

高一上学期期中考试

12.已知函数\(f(x)=(\dfrac{1}{3})^x-\ln{x}\)，若\(a<b<c\)且满足\(f(a)f(b)f(c)<0\)，若实数\(d\)是函数\(y=f(x)\)的一个零点，那么下列结论中，有可能成立的是

\(A.d<a \qquad\qquad\) \(B.d>b \qquad\qquad\) \(C.d<c \qquad\qquad\) \(D.d>c\)

21.已知函数\(f(x)=2^x,g(x)=\log_2 x\). （1）若\(x_0\)是方程\(f(x)=\dfrac{3}{2}-x\)的根，证明：\(2^{x_0}\)是方程\(g(x)=\dfrac{3}{2}-x\)的根； （2）设方程\(f(x-1)=\dfrac{5}{2}-x,g(x-1)=\dfrac{5}{2}-x\)的根分别是\(x_1,x_2\)，求\(x_1+x_2\)的值.

22.已知\(f(x)=\log_a g(x)\)，且\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，当\(x>0\)时，\(g(x)=ax^2-ax+1\). （1）若\(f(x)\)在\([1,2]\)上的最大值是2，求实数\(a\)的值； （2）当\(a>1\)时，若对任意\(x_1\in[1,2]\)，\(x_2\in (1,2]\)，恒有\(\lambda[g(x_1)+g(-x_1)]\le f(x_2)+\dfrac{1}{f(x_2)}\)，求\(\lambda\)的取值范围.

高一第三次月考联考

10.已知\(f(\sqrt{2x^2-1})=4x^2-3\)，则下列结论错误的是（ ）

\(A.f(1)=1\qquad\) \(B.f(x)=2x^2-1\qquad\) \(C.f(x)\)是偶函数\(\qquad\) \(D.f(x)\)有唯一零点

12.给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）

\(A.\)两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若\(n\)次（\(n\ge2\)）购买同一物品，用第一种策略比较经济

\(B.\)若二次函数\(f(x)=24ax^2+4x-1(a\ne0)\)在区间\((-1,1)\)内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实数\(a\)的取值范围是\((-\dfrac{1}{8},0)\cup (0,\dfrac{5}{24})\)

\(C.\)已知函数\(f(x)=|\lg x|\)，若\(0<a<b\)，且\(f(a)=f(b)\)，则\(3b+2a\)的取值范围是\([2\sqrt6,+\infty)\)

\(D.\)设矩形\(ABCD (AB>AD)\)的周长为24，把\(\triangle{ABC}\)沿\(AC\)向\(\triangle{ADC}\)折叠，\(AB\)折过去后交\(DC\)于点\(P\)，设\(AB=x\)，则\(\triangle{ADP}\)的面积是关于\(x\)的函数且最大值为\(108-70\sqrt{2}\)

21.新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额\(x\)（万元）在\(x\in[4,8]\)的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款\(f(x)\)（万元）随企业原纳税额\(x\)（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的\(50\%\).经测算，政府决定采用函数模型\(f(x)=\dfrac{x}{4}-\dfrac{m}{x}+4\)（其中\(m\)为参数）作为补助款发放方案. （1）当使用参数\(m=13\)是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数\(m\)的取值范围.

22.已知函数\(f(x)=\dfrac{3^x-a}{3^x+1}(a\in\mathbb{R})\). （1）若函数\(f(x)\)为奇函数，求\(a\)的值，并求此时函数\(f(x)\)的值域； （2）若存在\(x_1<0<x_2\),使\(f(x_1)+f(x_2)=0\)，求实数\(a\)的取值范围.

高一下学期第一次月考试题

21.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币，如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有4个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设\(\angle OAB=\theta\)，五个正方形的面积和为\(S\).

（1）求面积\(S\)关于\(\theta\)的函数表达式，并求\(\tan\theta\)的范围；

（2）求面积\(S\)的最小值，并求出此时\(\tan\theta\)的值.

高一下学期第二次月考试题

9.若复数\(z\)满足\((z+2)\mathbb{i}=3+4\mathbb{i}\)（\(\mathbb{i}\)为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）

\(A.z\)的虚部为\(-3\mathbb{i}\qquad\) \(B.|z|=\sqrt{13}\qquad\) \(C.z\)的共轭复数为\(2+3\mathbb{i}\qquad\) \(D.z\)是第三象限的点

11.在\(\triangle ABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，则下列结论中正确的是（ ）

\(A.\)在\(\triangle ABC\)中，若\(A>B\)，则\(\sin A>\sin B\)

\(B.\)若\(\sin 2A=\sin 2B\)，则\(\triangle ABC\)是等腰三角形

\(C.\)若\(a\cos B-b\cos A=c\)，则\(\triangle ABC\)是直角三角形

\(D.\)若\(a^2+b^2-c^2>0\)，则\(\triangle ABC\)是锐角三角形

14.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,3),\overrightarrow{b}=(\sin\theta, \sin\theta-\cos\theta)\)，若\(a//b\)，则\(\tan2\theta=\)

16.\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)所对的边分别是\(a,b,c\)，已知\(\dfrac{\cos C}{c}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{1}{a}\)，则\(A\)的取值范围是_______

22.已知函数\(f(x)=\dfrac{x^2-3x+4}{x},g(x)=|\log_2 x|\)

（1）若关于\(x\)的方程\(g(x)=n\)有两个不等根\(\alpha,\beta(\alpha<\beta)\)，求\(\alpha\beta\)的值；

（2）是否存在实数\(a\)，使得对任意\(m\in[1,2]\)，关于\(x\)的方程\(4g^2(x)-4ag(x)+3a-1-f(m)=0\)在区间\([\dfrac{1}{8},4]\)上总有3个不等根\(x_1,x_2,x_3\)，若存在，求出实数\(a\)与\(x_1\cdot x_2\cdot x_3\)的取值范围；若不存在，说明理由.

高一下学期第三次月考试题

21.长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地近似为圆面，该圆面的内接四边形\(ABCD\)是原棚户建筑用地，测量可知边界\(AB=4\)万米，\(BC=6\)万米，\(AD=4\)万米，\(CD=2\)万米.

（1）请计算原棚户区建筑用地\(ABCD\)的面积及线段\(AC\)的长；

（2）因地理条件的限制，边界\(AD,CD\)不能变更，而边界\(AB,BC\)可以调整.为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧线上设计一点\(P\)，使得棚户区改造的建筑用地\(APCD\)的面积最大，并求最大值.

22.已知函数\(f(x)=\lg(\dfrac{2}{x-1}+a),a\in\mathbf{R}\).

（1）若函数\(f(x)\)是奇函数，求实数\(a\)的值；

（2）在（1）的条件下，判断函数\(y=f(x)\)与函数\(y=\lg{2^x}\)的图像公共点个数，并说明理由；

（3）当\(x\in[1,2)\)时，函数\(y=f(2^x)\)的图象始终在函数\(y=\lg(4-2^x)\)的图象上方，求实数\(a\)的取值范围.